الكسور الجزيئية وطريقة التغطية Cover-up Method

منتديات يزيد التعليمية حلول الرياضيات قسم المسائل الجامعيّة وأولمبياد الرياضيات الكسور الجزيئية وطريقة التغطية Cover-up Method

التسجيل مجاناً

كاتب الموضوع

Lifelong learner

تم تعديل المحتوى

www.yzeeed.com

الكسور الجزئية وطريقة التغطية Cover-up Method

السلام عليكم ورحمة الله

مررت بهذه الطريقة السريعة في الكسور الجزئية ، لعلها تختصر بعض الوقت المستهلك في الطريقة التقليدية

إذا كانت لدينا دالة كسرية درجة البسط أقل من درجة المقام والمقام يمكن تحليله إلى دوال خطية فيمكننا استخدام طريقة التغطية والتعويض لإيجاد البسط لكل كسر جزئي ...

مثال :

$\frac{x-7}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$

عند إيجاد A أغطى المقام x-1 ثم أعوض بجذر هذا المقام x=1 :

$A = \left. \frac{x-7}{{\color{White} (x-1)}(x+2)} \right|_{x=1}= \frac{1-7}{1+2} = -2$

وكذلك الأمر بالنسبة لـ B :

$\\ B = \left. \frac{x-7}{(x-1){\color{White}(x+2)}}\right|_{x=-2} = \frac{-2-7}{-2-1}= 3$

ليكون الناتج :

$\\ \frac{x-7}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{x+2} -\frac{2}{x-1}$

شارك هذا الموضوع

تعليق 2

Lifelong learner

www.yzeeed.com

عندما ينتج عن تحليل المقام دوال خطية بدون تكرار فيمكن إيجاد الحل كاملاً بهذه بالطريقة ..

أما إن كان هناك تكرار لأحد الجذور ( أو نتج عن التحليل دالة خطية ذات أس أكبر من 1 ) فطريقة التغطية تعطينا جزءاً من الحل وهو معاملات الدوال الخطية ذات أكبر أس والباقي يكون بالتعويض ، مثال للتوضيح :

$\\ \frac{1}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+2}\\$

وهنا طريقة التغطية تعطينا A و C ، في حالة A نغطي المقدار المربع x-1 ونعوض بـ 1 ،، و عند C نغطي x+2 ونعوض بـ -2 :

$\\ A = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}\\ \\C=\frac{1}{(-2-1)^2} = \frac{1}{9}\\$

ثم نعوض بقيمتهما وبأي قيمة ممكنة لـ x غير أصفار المقام في المعادلة الأولى :

$\\ Let\: x = 0 :\\ \\ \frac{1}{2} = \frac{1}{3}-B+\frac{1}{18}\\ \\ B = \frac{6+1-9}{18} = \frac{-1}{9}\\$

فيصبح لدينا الناتج :

$\\ \frac{1}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{1}{3(x-1)^2} - \frac{1}{9(x-1)} + \frac{1}{9(x+2)}\\$

تعليق 3

Lifelong learner

www.yzeeed.com

أيضاً إن كان مع الدوال الخطية دوال من الدرجة الثانية غير قابلة للتحليل ( جذورها مركبة) ،، فيمكننا بالتغطية إيجاد حل جزئي للكسور ذات المقام الخطي والبقية بمقارنة المعاملات أو التعويض أو نستخدم الأعداد المركبة ونساوي بين الجزء الصحيح والمركب ..

مثال :

$\frac{5x+6}{(x^2+4)(x-2)} =\frac{A}{x-2} +\frac{Bx+C}{x^2+4}$

لايجاد A مباشرة ،، أغطي x-2 وأعوض بـ 2 :

A = (2*5+6)/(4+4) = 2

ثم أضرب الطرفين في مقام الدالة الكسرية :

$\\ 5x+6 = 2(x^2+4) +(Bx+C)(x-2) \qquad \qquad (1) \\$

بمقارنة معاملات x^2 في الطرفين:

$0 = 2 + B \Rightarrow B = -2$

ومن الحد الثابت في الطرفين :

$6 = 8 -2C \Rightarrow C = 1$

فيصبح الناتج :

$\\ \frac{5x+6}{(x-2)(x^2+4)} = \frac{2}{x-2}-\frac{2x-1}{x^2+4} \\$

في المعادلة (1) كان يمكن أن أعوض في المعادلة بقيمتين لـ x ( غير x=2) مثلاً : x=0 , x=1 ومن المعادلتين الناتجة أوجد B و C

$\\ 5x+6 = 2(x^2+4) +(Bx+C)(x-2) \qquad \qquad (1) \\ x=0 : \qquad 6 = 8 -2C \Rightarrow C = 1 \\ x = 1 : \qquad 11 = 10 + -B-1 \Rightarrow B =-2$

....................................
المرجع :
https://math.mit.edu/~jorloff/suppno...pnotes03/h.pdf

الموضوع التالي

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
العرض العادي الانتقال إلى العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري